§1–7

115 代數學 · 期中考前 48 小時

代數學
考前總複習

五個單元，從定義到證明：自然數、同餘、群、循環群、Cayley digraph。把會寫的分數全部拿穩。

11/5（四）09:10–10:00 50 分鐘 Open Book 不含 ring / field

這份簡報是考前 48 小時的總複習，不是完整講義。教學時先帶學生看五個單元的地圖，再逐一補「最常考、最容易掉分」的點。Ring / field / integral domain 這次先跳過。

Exam map · 先把範圍縮小

今天只講會考的

五個單元，對應五種題型。先知道每一單元「一定要拿到的分數」在哪裡。

01

自然數與整數

Peano、$\mathbb{Z}$ 的建構、WOP、除法原理、gcd／Bézout

02

同餘與 $\mathbb{Z}_n$

同餘類、消去律、線性同餘、Fermat／Euler／Wilson／CRT

03

群與子群

G1–G4、Abelian、五個直接結論、子群判定法

04

循環群

階、生成元、$\lvert a^s\rvert$ 公式、子群結構

05

生成集與 Cayley

$\langle S\rangle$、頂點／弧、右乘、自逆元素

先跳過：ring / field / integral domain（3.1）。這次考試主戰場是 Chapter 1 §1–7，不是環論。

考試形式：50 分鐘、Open Book；可帶紙本課本與一張 A4 手寫資料（要寫學號姓名，交卷時繳回）。

建議複習順序（依你的弱點）：04 循環群 → 03 群論 → 02 同餘 → 05 Cayley → 01 自然數。先補 order 與證明模板，再回頭掃定義。

先讓學生知道「不是全部都要念」。五個單元中，數論計算是他的強項，群論的順序與 order 是弱點。Field 相關先不排。

Unit 01 · Natural numbers

先把「數」蓋好，再談運算

Peano 公理把自然數釘死；等價類把整數「造」出來。這一段考的是定義與良定義，不是複雜計算。

Peano axioms · 以 1 為起始

$1\in\mathbb{N}$。
對每個 $n$，後繼 $S(n)\in\mathbb{N}$。
沒有任何 $n$ 的後繼是 $1$：$S(n)\neq1$。
$S$ 是單射：$S(m)=S(n)\Rightarrow m=n$。
歸納公理：$1$ 成立且 $n$ 成立可推 $S(n)$ 成立，則全體成立。

Constructing $\mathbb{Z}$

用有序對「造」整數，避免偷用負數與減法：

$(a,b)\sim(c,d)\iff a+d=b+c$

$\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/\sim$

每個等價類 $[(a,b)]$ 就是一個整數；$(a,b)$ 代表 $a-b$。

等價關係需滿足：自反、對稱、傳遞。

Well-defined：在商集合上定義運算時，換一個代表元，結果不能變。例如要證 $[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)]$ 不依賴代表元。

WOP ↔ 歸納法：$\mathbb{N}$ 的每個非空子集有最小元素。很多存在性證明（除法原理、循環群子群）都從這裡開始。

這一頁先把 Peano 五條快速念過，重點放在「為什麼要用等價類造 Z」。學生常把等價關係寫成 a+b=c+d，這裡要特別提醒是 a+d=b+c。Well-defined 是後面 Z_n 運算的伏筆。

Unit 01 · Division & gcd

除法原理是整章的地基

有除法原理，才有輾轉相除法；有輾轉相除法，才有 Bézout 與乘法反元素。

Division Algorithm

$a=bq+r,\quad b\gt 0,\quad 0\le r\lt b$

$q,r$ 唯一。這是「餘數」與「同餘類」的源頭。

Euclidean Algorithm

$\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)$

一直除到餘數為 $0$，最後的非零餘數就是 gcd。

Bézout's Identity

$d=\gcd(a,b)\Rightarrow \exists x,y\in\mathbb{Z},\ ax+by=d$

也是「乘法反元素存在 ⇔ gcd = 1」的根據。

Euclid's Lemma / FTA

$p$ 質數、$p\mid ab$ ⇒ $p\mid a$ 或 $p\mid b$。由此推出算術基本定理：$n\gt1$ 可唯一分解成質數乘積（不計順序）。

$\gcd(252,198)=18$ $252=1\cdot198+54,\ 198=3\cdot54+36,\ 54=1\cdot36+18$；回代得 $18=4\cdot252-5\cdot198$。

用 252 和 198 示範一次擴展歐幾里得。提醒學生：考試若只寫 gcd 的數字，通常只拿一半分；要寫出線性組合。

Unit 02 · Congruence

同餘：把整數裝進 $n$ 個包包

同餘不是「等於」，是「除以 $n$ 之後餘數相同」。商集合就是把同一包的數當成一個新元素。

$a\equiv b\pmod n \iff n\mid(a-b)$

$[a]=\{a+kn\mid k\in\mathbb{Z}\}$ 同一個等價類＝公差為 $n$ 的雙向等差數列。

$\mathbb{Z}_n=\{[0],[1],\dots,[n-1]\}$ 商集合 $(\mathbb{Z}/\equiv_n)$；元素是「包包」，不是單一數字。

$\mathbb{Z}_6$ 的六個包包

$[0]$	$\dots,-6,0,6,12,\dots$
$[1]$	$\dots,-5,1,7,13,\dots$
$[2]$	$\dots,-4,2,8,14,\dots$
$[3]$	$\dots,-3,3,9,15,\dots$
$[4]$	$\dots,-2,4,10,16,\dots$
$[5]$	$\dots,-1,5,11,17,\dots$

Unit（可逆元）

$[a]$ 有乘法反元素 ⇔ $\gcd(a,n)=1$。在 $\mathbb{Z}_6$ 中：$[1],[5]$。

Zero divisor（零因子）

存在非零 $[b]$ 使 $[a][b]=[0]$。在 $\mathbb{Z}_6$ 中：$[2],[3],[4]$（$[0]$ 不算）。

用「六個包包」讓學生重新建立商集合的直覺。提醒：Z_n 的元素是等價類，不是 0 到 n-1 的數字本身；但計算時可以拿代表元。

Unit 02 · Cancellation & linear congruence

消去律不是隨時可以消

同餘式可以「同乘」，但不一定能「同除」。關鍵只有一個：$\gcd(c,n)$。

可以消：若 $\gcd(c,n)=1$ 且 $ac\equiv bc\pmod n$，則 $a\equiv b\pmod n$。

不能直接消：若 $d=\gcd(c,n)\gt1$，則只能得到 $a\equiv b\pmod{n/d}$，模數會變小。

反例

$2\cdot0\equiv2\cdot2\pmod4$，但 $0\not\equiv2\pmod4$。因為 $\gcd(2,4)=2$，只能推 $0\equiv2\pmod2$。

解 $ax\equiv b\pmod n$

令 $d=\gcd(a,n)$。

$d\mid b$ ⇔ 有解

有解時恰有 $d$ 個解：$x=x_0+k\frac{n}{d}$

$k=0,1,\dots,d-1$；$x_0$ 是一個特解。

例：$6x\equiv9\pmod{15}$，$d=3$。除以 $3$ 得 $2x\equiv3\pmod5$，故 $x\equiv4,9,14\pmod{15}$。

連到反元素：$\gcd(a,n)=1$ ⇔ $[a]$ 在 $\mathbb{Z}_n$ 有乘法反元素；用擴展歐幾里得找 $ax+ny=1$。

這頁是學生最常出錯的地方：看到同餘式就兩邊亂除。先用 2·0≡2·2 mod 4 打臉，再給標準解法。強調「解的個數 = d」。

Unit 02 · Four theorems

四個定理，四種條件

這四個定理不難，難在「什麼時候不能用」。先把條件寫出來，再套公式。

Fermat's Little Theorem

$p$ 質數、$p\nmid a$ ⇒ $a^{p-1}\equiv1\pmod p$。等價：對所有 $a$，$a^p\equiv a\pmod p$。

Euler's Theorem

$\gcd(a,n)=1$ ⇒ $a^{\phi(n)}\equiv1\pmod n$。Fermat 是 $n=p$ 的特例。

Wilson's Theorem

$n\gt1$：$n$ 為質數 ⇔ $(n-1)!\equiv-1\pmod n$。雙向都要會。

證明骨架：$1$ 與 $p-1$ 自逆，其餘兩兩配對成逆元。

Chinese Remainder Theorem

$m_i$ 兩兩互質 ⇒ 在模 $\prod m_i$ 下有唯一解。不互質時：$\gcd(m_1,m_2)\mid(a_1-a_2)$ 才有解。

最大的陷阱：$a^{\phi(n)}\equiv1$ 只說 $\phi(n)$ 是「保證的週期」，不是「最小週期」。真正的最小階整除 $\phi(n)$；Fermat 的 $p-1$ 也一樣。

$3^{103}\bmod100=27$ $\phi(100)=40$，$103=2\cdot40+23$，$3^{103}\equiv3^{23}\equiv27\pmod{100}$。

先把四個定理的條件寫清楚，再講「週期不等於最小階」。可以用 2^6≡1 mod 7，但 2 的階是 3 當例子。

Unit 03 · Groups

群：四條公理，一個都不能少

群不是「一堆元素」，是「一個集合＋一個運算＋四條規則」。考試先寫定義，再舉例。

G1

Closure

$a,b\in G\Rightarrow ab\in G$。

G2

Associativity

$(ab)c=a(bc)$。

G3

Identity

存在 $e$，使 $ea=ae=a$。

G4

Inverse

每個 $a$ 有 $a^{-1}$，$aa^{-1}=e$。

Abelian：群，且對所有 $a,b$ 有 $ab=ba$。交換律是「額外」的，不是群公理。

編號陷阱：Fraleigh 課本用 $\mathcal{G}_1$–$\mathcal{G}_3$（結合、單位、逆元；封閉含在二元運算）；講義用 G1–G4（封閉、結合、單位、逆元）。答題時先把公理寫出來，不要只寫編號。

經典例子 · 考試要能隨手舉例

$(\mathbb{Z},+)$ 無限、Abelian $(\mathbb{Z}_n,+)$ $n$ 階、Abelian $\mathbb{Z}_n^\times$ $\phi(n)$ 階、Abelian $GL(n,\mathbb{R})$ 無限、非 Abelian（$n\ge2$） $S_n$ $n!$ 階、非 Abelian（$n\ge3$） $D_n$ $2n$ 階、非 Abelian（$n\ge3$） Klein $V$ $4$ 階、Abelian 但非循環

同構：雙射 $\phi:G\to G'$ 滿足 $\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)$；同構的群有相同的群論性質。

這頁用四根柱子記 G1–G4。特別提醒課本與講義的公理編號不同，考試若只寫 G1 可能對不上。例子表要能隨口說出階數與是否交換。

Unit 03 · Direct consequences

五個直接結論＝五個證明模板

這些不是新定理，是群公理的直接後果。考試最愛考「請證明」。背骨架，不要背全文。

結論	證明的第一行
單位元唯一	設 $e,e'$ 都是單位元，則 $e=e e'=e'$。
逆元唯一	設 $b,c$ 都是 $a$ 的逆元，則 $b=b e=b(ac)=(ba)c=ec=c$。
倒置律	驗證 $(ab)(b^{-1}a^{-1})=e$，另一邊同理，再用逆元唯一。
消去律	若 $ab=ac$，左乘 $a^{-1}$，用結合律與 $a^{-1}a=e$。
$ax=b$ 唯一解	$x=a^{-1}b$；$ya=b$ 則 $y=ba^{-1}$。非交換群左右不同。

你上次錯的：$xa=x$ 對「某一個」$x$ 成立，能不能推 $a=e$？在群裡可以。因為 $x$ 有逆元，左乘 $x^{-1}$ 得 $a=e$。

你上次錯的：$abc=e$，則 $c^{-1}=?$ 答案是 $ab$，不是 $ba$。$(ab)c=e$，右乘 $c^{-1}$ 得 $ab=c^{-1}$。

這頁是證明題的核心。讓學生自己默寫一次「逆元唯一」與「倒置律」。下面兩個紅框是他實際答錯的題目，考前一定要再看。

Unit 03 · Subgroups

子群判定：先寫非空

子群是「群裡的小群」。要證明 $H\le G$，不一定要驗四條公理；用一步法最快，但前提是 $H\neq\varnothing$。

$H\le G$：$H\subseteq G$ 非空，且在 $G$ 的運算下自身為群。

一步子群判定法

$H\neq\varnothing,\quad \forall a,b\in H,\ ab^{-1}\in H$

若用加法記號，改成 $a-b\in H$。

有限子群判定法

$H$ 有限非空，且對乘法封閉

只有「有限」才能只驗封閉性；無限子集不行。

一步法的證明骨架

取 $x\in H$：$xx^{-1}=e\in H$。
取 $a=e,b=x$：$ex^{-1}=x^{-1}\in H$。
取 $a=x,b=y^{-1}$：$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$。
結合律繼承自 $G$，故 $H\le G$。

反例：$\mathbb{Z}^+=\{1,2,3,\dots\}$ 在加法下封閉，但不是 $\mathbb{Z}$ 的子群——沒有 $0$，也沒有負數逆元。它是無限子集，所以不能用有限子群判定法。

「非空」是這頁的關鍵字。很多學生背了一步法卻忘記先寫 H≠∅。用 Z+ 的反例說明「封閉不等于子群」。

Unit 04 · Cyclic groups

循環群：一個元素撐起整個群

$G=\langle a\rangle$ 的意思是：只要一直乘 $a$，就能走遍整個群。循環群一定交換，但交換群不一定循環。

$G=\langle a\rangle=\{a^k\mid k\in\mathbb{Z}\}$

Order of a group

$\lvert G\rvert$

群裡有幾個元素。$\lvert\mathbb{Z}_{12}\rvert=12$。

Order of an element

$\lvert a\rvert$

$a$ 自己重複幾次回到 $e$；$\lvert a\rvert=\lvert\langle a\rangle\rvert$。

$\mathbb{Z}_{12}$ 快速查表

元素	$\lvert\bar{a}\rvert$	生成的子群
$\bar{0}$	$1$	$\{\bar0\}$
$\bar{1}$	$12$	$\mathbb{Z}_{12}$
$\bar{2}$	$6$	$\{\bar0,\bar2,\dots,\overline{10}\}$
$\bar{4}$	$3$	$\{\bar0,\bar4,\bar8\}$
$\bar{6}$	$2$	$\{\bar0,\bar6\}$

循環 ⇒ Abelian：$a^r a^s=a^{r+s}=a^{s+r}=a^s a^r$。

反過來不成立：Klein $V$ 是 Abelian，但每個非單位元的階都是 $2$，生成不出 $4$ 階群，所以不是循環群。

子群：循環群的任何子群仍循環；$\mathbb{Z}$ 的子群都是 $n\mathbb{Z}$。

分類：無限循環群 ≅ $(\mathbb{Z},+)$；$n$ 階循環群 ≅ $(\mathbb{Z}_n,+)$。

這頁的核心是 |G| 和 |a| 的差別。學生之前卡在「order 到底在數什麼」，用 Z_12 的表讓他看到：|4|=3，不是 12。

Unit 04 · Order formula

$n$ 是 $\lvert a\rvert$，不是 $\lvert G\rvert$

這條公式的前提只有一個：$\lvert a\rvert=n$。如果 $a$ 不是生成元，$n$ 就不能代群的階。

$\lvert a^s\rvert=\dfrac{n}{\gcd(n,s)}$

生成元判別

$a^s$ 生成 $G$ ⇔ $\gcd(s,n)=1$。生成元共有 $\phi(n)$ 個。

子群結構

對每個 $d\mid n$，恰有一個 $d$ 階子群，由 $a^{n/d}$ 生成。

例：$\mathbb{Z}_{18}$，$n=18$

生成元（$\gcd(s,18)=1$）：

$\bar1,\bar5,\bar7,\overline{11},\overline{13},\overline{17}$　共 $\phi(18)=6$ 個

子群階數：$1,2,3,6,9,18$。

最常錯：把 $n$ 代成 $\lvert G\rvert$。若 $a$ 的階是 $6$、群階是 $12$，算 $\lvert a^s\rvert$ 時 $n=6$，不是 $12$。

這頁直接對應學生「不懂 order 與公式」的卡點。先問：Z_18 的生成元有幾個？再問：Z_12 中 |4| 是多少？兩題都要求他先說 n 是什麼。

Unit 05 · Generating sets & Cayley digraphs

Cayley digraph：把群畫成一張地圖

頂點是群元素，弧是「右乘生成元」：$x$ 沿 $g$ 走，就到 $xg$。

$\langle S\rangle$：包含 $S$ 的最小子群＝$S$ 與其逆元的有限乘積。

畫圖三步

每個群元素畫一個頂點。
對每個 $g\in S$，畫 $x\to xg$（右乘）。
若 $g=g^{-1}$，畫成無向邊，不畫箭頭。

連通：$S$ 生成 $G$ 出入度：每點每個 $g$ 一進一出 唯一邊：$xg$ 唯一平移：同字詞走法一致

讀圖：從 $x$ 沿 $g$ 走，就到 $xg$。同一串生成元從任何點出發，都是「右乘同一個字詞」。

$\mathbb{Z}_8$，$S=\{1\}$：有向 8-cycle

Klein $V$，$S=\{a,b\}$：4-cycle

畫圖時先問「左乘還是右乘？」答案是右乘：x 沿 g 走到 xg。Z8 用 S={1} 是一個有向八邊形；Klein V 用 {a,b} 是一個四邊形，因為 a、b 都自逆。

Unit 05 · What gets tested

Cayley 的考法：畫圖、讀圖、找生成元

Cayley 圖不考複雜證明，考的是「規則有沒有記對」。方向、標籤、自逆元素，三個地方最容易掉分。

① 畫 $\mathbb{Z}_8$，$S=\{1\}$

八個頂點 $\bar0,\dots,\bar7$，每個 $x$ 畫一條 $x\to x+1$ 的弧，形成一個有向 8-cycle。

② 畫 Klein $V$，$S=\{a,b\}$

$a,b$ 都自逆，所以畫無向邊；四個頂點形成一個 4-cycle $e-a-c-b-e$。

③ 畫 $D_4$，$S=\{r,s\}$（$r$ 旋轉 $90^\circ$，$s$ 反射）

八個頂點；每個頂點一條 $r$-出弧（有箭頭，$r^4=e$）與一條 $s$-邊（$s^2=e$，無箭頭）。不要把 $r$-弧畫成雙向。

易錯 1：把弧畫成左乘。正確是 $x\to xg$（右乘）。

易錯 2：自逆元素還畫箭頭。$g=g^{-1}$ 時畫無向邊。

讀圖技巧：從任一點出發，沿同一串生成元走，到達的點就是「原點右乘那個字詞」。這就是 Cayley 圖的「平移一致性」。

這頁用三個例子把 Cayley 圖的考法講完。D4 的 r 是 90 度旋轉、s 是反射；r 不是自逆，s 是自逆。畫圖時先標頂點，再畫邊，最後檢查出入度。

Review · Number theory traps

數論易錯 6 條

這些不是不會，是「差一個條件」。考前把「錯 → 對」看一遍。

錯誤／陷阱	正確
$ac\equiv bc\pmod n$ 就直接消掉 $c$	只有 $\gcd(c,n)=1$ 才能直接消；否則模數變成 $n/\gcd(c,n)$。
把 $a^{\phi(n)}\equiv1$ 當成最小週期	它只是保證的週期；最小階整除 $\phi(n)$。Fermat 的 $p-1$ 也一樣。
$ax\equiv b\pmod n$ 只看 $d\mid b$，忘了有幾個解	有解時恰有 $d=\gcd(a,n)$ 個解，通式 $x_0+k(n/d)$。
CRT 任何模數都直接套	先檢查兩兩互質；不互質用 $\gcd(m_1,m_2)\mid(a_1-a_2)$。
把 unit 與 zero divisor 搞混	$[a]$ 是 unit ⇔ $\gcd(a,n)=1$；有零因子通常對應 $\gcd(a,n)\gt1$（$[0]$ 除外）。
Wilson 只背「質數 ⇒ $(p-1)!\equiv-1$」	它是雙向：$n\gt1$ 為質數 ⇔ $(n-1)!\equiv-1\pmod n$。

看到同餘先問三件事：模數是多少？$\gcd$ 是多少？條件滿足了嗎？

這頁對應學生在對話中反覆卡住的消去律、Euler/Fermat 最小週期、線性同餘解數。用「錯→對」讓他快速掃描，不要逐條念。

Review · Group theory traps

群論易錯 7 條

你在對話中實際答錯的兩題也在這裡。考前不要再犯同樣的順序錯誤。

錯誤／陷阱	正確
把 $\lvert G\rvert$ 當成 $\lvert a\rvert$	$\lvert G\rvert$ 是元素個數；$\lvert a\rvert$ 是 $a$ 回到 $e$ 的最小次數。
用 $\lvert a^s\rvert=n/\gcd(n,s)$ 時，$n$ 取成群階	前提是 $\lvert a\rvert=n$；若 $a$ 不是生成元，$n$ 要用 $\lvert a\rvert$。
非交換群寫 $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$	正確是 $b^{-1}a^{-1}$。
非交換群把 $abc=e$ 解成 $c^{-1}=ba$	你上次錯的：正確是 $c^{-1}=ab$。
「$xa=x$ 只對一個 $x$，不能推 $a=e$」	你上次錯的：在群裡可以；$x$ 有逆元，左乘 $x^{-1}$ 即得。
由 $abc=acb$ 消去 $a$ 得 $bc=cb$，就說 $G$ 是 Abelian	只證明 $b,c$ 這兩個元素可交換；Abelian 要求所有元素對都可交換。
子群判定忘記非空；用封閉性判定無限子集	一步法先寫 $H\neq\varnothing$；有限法只能用於有限非空子集。

Cayley 單獨記：弧 $x\to xg$ 是右乘；$g=g^{-1}$ 畫無向邊。方向畫反，整題全錯。

這頁是學生專屬的錯題清單。紅字兩條是他 11/3 實際答錯的：xa=x 與 abc=e。考前請他先自己說一次正確推導，再看表。

Strategy · 50 minutes

先拿定義題，再寫證明

50 分鐘不可能考長篇大論。先把定義、例子、短計算寫完，再回頭處理證明。

時間分配

3 分鐘	掃題，標出「定義題／計算題／證明題」。
35 分鐘	先寫定義與例子，再寫計算，最後寫證明。
10 分鐘	檢查 gcd、模數、非空、順序。

Open Book 規則：可帶紙本課本＋一張 A4 手寫資料（不可影印），要寫學號姓名，交卷時繳回。帶學生證。

A4 的正確用法：寫「定理號＋證明骨架＋易錯點」，不要抄整頁定義。課本查得到的，不要佔 A4 空間。

A4 · 正面（定義與公式）

01 自然數
Peano 5 條／$\mathbb{Z}$ 等價類／WOP

02 同餘
消去律／線性同餘／Fermat·Euler·Wilson·CRT

03 群
G1–G4／五個直接結論／子群判定

04 循環群
$\lvert a\rvert=\lvert\langle a\rangle\rvert$／$\lvert a^s\rvert=n/\gcd(n,s)$
生成元 $\gcd(s,n)=1$／$\phi(n)$

05 Cayley
頂點＝元素／弧＝右乘／自逆不畫箭頭

紅色：易錯點 13 條

A4 · 反面（證明骨架）

單位元唯一／逆元唯一
倒置律／消去律
$xa=x\Rightarrow a=e$
$abc=e\Rightarrow c^{-1}=ab$
$ax=b$／$ya=b$

一步子群判定
$\mathbb{Z}_n$ well-defined
Wilson 配對證明
三個計算例：
擴展歐幾里得／線性同餘／$3^{103}\bmod100$

這頁示範 A4 的正面與反面。強調 A4 是「索引」不是「抄書」；課本有定義，A4 放證明骨架與易錯點。考試當天一定要記得寫學號姓名。

Check · Before you sleep

睡前 10 問

蓋住答案，用嘴巴講一次。講不出來的，就是明天早上要補的那一格。

$\lvert G\rvert$ 和 $\lvert a\rvert$ 分別在數什麼？
$\mathbb{Z}_{12}$ 中 $\lvert\bar4\rvert$、生成元、所有子群？
$\lvert a^s\rvert$ 的公式與前提？
一步子群判定法的三個重點？
為什麼有限非空子集只需驗封閉性？

單位元唯一、逆元唯一、倒置律的證明第一行？
$xa=x$ 為什麼能推 $a=e$？
$abc=e$ 為什麼 $c^{-1}=ab$？
$ax\equiv b\pmod n$ 有解的條件、解的個數？
Cayley 圖的弧代表左乘還是右乘？自逆元素怎麼畫？

使用方式：一題卡住 → 只看那一節，不要重新打開整個講義。考前最怕的不是不會，是「本來會的被焦慮蓋掉」。

全部答得出來 → 去睡覺。有一題卡住 → 只看那一節。

這 10 題對應五個單元。讓學生用手遮住答案，一題一題講。卡住的那題就是考前最後要補的點，不要從頭重讀。

Summary · 帶走三句話

考前，只記三件事

01

$\lvert G\rvert$ ≠ $\lvert a\rvert$

群的階是元素個數；元素的階是回到 $e$ 的最小次數。用 $\lvert a^s\rvert$ 公式時，$n=\lvert a\rvert$。

02

非交換群，順序不能換

$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$；$abc=e$ 推出 $c^{-1}=ab$，不是 $ba$。

03

子群先寫非空；Cayley 是右乘

$H\neq\varnothing$ 是一步法的第一步；Cayley 弧 $x\to xg$ 是右乘，自逆元素畫無向邊。

你現在的分數不是靠再讀 100 頁，是靠把這 13 個坑少踩 5 個。
把會寫的寫對，就是高分。

最後用三句話收尾：order、順序、非空/右乘。這三句話就是整份簡報的壓縮檔。祝考試順利。

A4 · Copy this

A4 就抄這一頁

先讀 complete.html，再打開 a4.html 照抄。完整版負責「讀懂」，A4 負責「考試帶得走」。

正面 · 定義與公式

01 自然數／整數：Peano、$\mathbb{Z}$ 建構、WOP、除法、gcd／Bézout／FTA
02 同餘／$\mathbb{Z}_n$：消去律、線性同餘、Fermat／Euler／Wilson／CRT
03 群／子群：G1–G4、Abelian、同構、一步法、有限法
04 循環群：$\lvert a\rvert$、$\lvert a^s\rvert$、生成元、子群、分類
05 Cayley：生成集、右乘、自逆
06 D3 6×6 Cayley table（列先、行後）

反面 · 證明與易錯

10 個證明骨架：$e$／$a^{-1}$ 唯一、倒置律、消去、$xa=x$、$abc=e$、$ax=b$、一步子群、$\mathbb{Z}_n$ well-def、Wilson
13 條易錯：消去律、$\phi(n)$、$\lvert a^s\rvert$、順序、子群非空、Cayley
經典群表：$\mathbb{Z}_n$、$\mathbb{Z}_n^\times$、$S_n$、$D_n$、$V$、$GL$
4 個計算模板：$7^{-1}$、$6x\equiv9$、$3^{103}$、$\mathbb{Z}_{12}$

使用方式：先把 A4 檔開著，照著抄；抄完後只看 A4，不看這份簡報。考試當天帶 A4＋學生證＋課本。

先讀完整版 ↗ 開啟 A4 手寫稿 ↗

這頁不是要背的內容，是告訴學生 A4 檔在哪、怎麼用。A4 正面公式、反面證明骨架；完整文字在 a4.html。